\(V=\dfrac{a.a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{6}.\sqrt{1+2cos90^0.cos60^0.cos120^0-cos^290-cos^260-cos^2120}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}\)

Đáp án: B

Trên SB, SC lần lượt lấy các điểm B',C' sao cho SB' =SC' =3.

Khi đó S.AB'C' là tứ diện đều (cạnh bằng 3).

Ta có  V S . A B ' C ' = 9 2 4 = V 1

⇒ V S . A B C = 6 3 . 9 3 . V 1 = 27 2 2

S ∆ S A B = 1 2 . 3 . 6 . sin 60 o = 9 3 2

d ( C , ( S A B ) ) = 3 . V S . A B C S ∆ A B C = 3 6

Đáp án C

Đặt SA=a. 

=> tam giác ABC vuông tại B.

Gọi O là trung điểm của AC, khi đó OA=OB=OC => S, O cùng thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra S O ⊥ ( A B C )  Do đó OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABC) nên góc giữa SB và (ABC) là:

Chọn điểm B' và C' lần lượt thuộc SB và SC sao ctho SA=SB'=SC'=3

Thấy ngay các tam giác SAB', SB'C', SAC', AB'C' đều

suy ra tứ diện SAB'C' là tứ diện đều, cạnh bằng 3

Dễ dàng tính được \(V_{SAB'C'}=\frac{9\sqrt{2}}{4}\)

Dùng tỷ lệ thể tích: \(\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.AB'C'}}=\frac{SA}{SA}\cdot\frac{SB}{SB'}\cdot\frac{SC}{SC'}=1\cdot\frac{6}{3}\cdot\frac{9}{3}=6\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{27\sqrt{3}}{2}\)

\(S_{SAB}=\frac{1}{2}.SA.SB.sin\widehat{ASB}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=9\)

\(AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=a\sqrt{2}\)

\(AC=\sqrt{SA^2+SC^2-2SA.SC.cos120^0}=\sqrt{3}\)

\(BC=\sqrt{SB^2+SC^2-2SB.SC.cos60^0}=a\)

\(\Rightarrow AB^2+BC^2=AC^2\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) \(\Rightarrow\) H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC (do SA=SB=SC)

\(\Rightarrow\) H trùng trung điểm AC

Gọi M là trung điểm SA \(\Rightarrow MH||SC\Rightarrow\) góc giữa SC và (SAB) bằng góc giữa MH và (SAB)

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow HN\perp AB\Rightarrow AB\perp\left(SHN\right)\)

Trong mp (SHN), kẻ \(HK\perp SN\Rightarrow HK\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{KMH}\) là góc giữa SC và (SAB)

\(SH=\sqrt{SA^2-\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2}=...\)

\(MH=\dfrac{1}{2}SA=...\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

\(NH=\dfrac{1}{2}BC=...\) (đường trung bình)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{NH^2}\Rightarrow HK=...\)

\(\Rightarrow sin\widehat{KMH}=\dfrac{HK}{MH}=...\)

cos φ = 14 4

Đáp án A